Ποιοι είναι οι λογικοί αριθμοί; Τι είναι;

Ποιοι είναι οι λογικοί αριθμοί; Οι ανώτεροι μαθητές και μαθητές μαθηματικών ειδικοτήτων, πιθανότατα, θα απαντήσουν εύκολα σε αυτή την ερώτηση. Αλλά εκείνοι που είναι από το επάγγελμα μακριά από αυτό, θα είναι πιο δύσκολο. Τι πραγματικά αρέσει;

Η ουσία και ο χαρακτηρισμός

Με λογικούς αριθμούς,που μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα απλό κλάσμα. Θετικό, αρνητικό και επίσης μηδέν εισέρχονται σε αυτό το σετ. Ο αριθμητής του κλάσματος πρέπει να είναι ένας ακέραιος αριθμός και ο παρονομαστής πρέπει να είναι φυσικός αριθμός.

Αυτό το σύνολο στα μαθηματικά χαρακτηρίζεται ως Q καιονομάζεται "πεδίο λογικών αριθμών". Εισάγουμε όλους τους ακεραίους και το φυσικό, που δηλώνονται αντιστοίχως ως Ζ και Ν. Το ίδιο σύνολο Q εισάγει το σύνολο R. Είναι αυτό το γράμμα που δηλώνει τους αποκαλούμενους πραγματικούς ή πραγματικούς αριθμούς.

Εισαγωγή

Όπως αναφέρθηκε ήδη, οι λογικοί αριθμοί είναισύνολο, το οποίο περιλαμβάνει όλες τις ακέραιες και κλασματικές τιμές. Μπορούν να παρουσιάζονται με διαφορετικές μορφές. Πρώτον, με τη μορφή συνήθων κλασμάτων: 5/7, 1/5, 11/15, κλπ. Φυσικά, ακέραιοι μπορούν επίσης να γραφτούν σε παρόμοια μορφή: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 κλπ. Δεύτερον, ένας άλλος τύπος αναπαράστασης είναι ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα πεπερασμένο κλασματικό τμήμα: 0.01, -15.001006, κλπ. Αυτή είναι ίσως μία από τις πιο συχνά συναντούμενες μορφές.

Υπάρχει όμως και ένα τρίτο - ένα περιοδικό κλάσμα. Αυτό το είδος δεν είναι πολύ συνηθισμένο, αλλά χρησιμοποιείται ακόμα. Για παράδειγμα, το κλάσμα 10/3 μπορεί να γραφτεί ως 3,33333 ... ή 3, (3). Στην περίπτωση αυτή, διαφορετικές παραστάσεις θα θεωρούνται ανάλογοι αριθμοί. Θα καλούνται επίσης ισοδύναμα κλάσματα, για παράδειγμα 3/5 και 6/10. Φαίνεται ότι κατέστη σαφές ποιοι είναι οι λογικοί αριθμοί. Αλλά γιατί να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον όρο για τον ορισμό τους;

Προέλευση του ονόματος

Η λέξη "ορθολογική" στη σύγχρονη ρωσικήστην γενική περίπτωση έχει μια ελαφρώς διαφορετική έννοια. Είναι μάλλον "λογικό", "σκόπιμο". Αλλά οι μαθηματικοί όροι είναι κοντά στην άμεση έννοια αυτής της δανεισμένης λέξης. Στη λατινική γλώσσα, ο όρος "λόγος" είναι "σχέση", "κλάσμα" ή "διαίρεση". Έτσι, το όνομα αντικατοπτρίζει την ουσία των λογικών αριθμών. Ωστόσο, η δεύτερη τιμή

όχι μακριά από την αλήθεια.

Δράσεις μαζί τους

Κατά την επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων, συνεχώςσυναντάμε λογικούς αριθμούς χωρίς να το γνωρίζουμε οι ίδιοι. Και έχουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά ακολουθούν είτε από τον ορισμό του συνόλου, είτε από τις ενέργειες.

Πρώτον, οι λογικοί αριθμοί έχουν την ιδιότητασχέσεις τάξης. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των δύο αριθμών μπορεί να υπάρχει μόνο μία σχέση - είναι είτε ίσες μεταξύ τους, είτε είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την άλλη. Ε.:

είτε a = b; είτε a> b, είτε a <b.

Επιπλέον, αυτή η ιδιότητα συνεπάγεται επίσης την μεταβατικότητα της σχέσης. Δηλαδή, αν α περισσότερο από β, β περισσότερο από γ, τότε α περισσότερο από γ. Στη γλώσσα των μαθηματικών, μοιάζει με αυτό:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

Δεύτερον, υπάρχουν αριθμητικές πράξεις μελογικούς αριθμούς, δηλαδή, προσθήκη, αφαίρεση, διαίρεση και, φυσικά, πολλαπλασιασμό. Σε αυτή τη διαδικασία, ένας αριθμός ιδιοτήτων μπορεί επίσης να διακριθεί στη διαδικασία του μετασχηματισμού.

a + b = b + a (αλλαγή τόπου των όρων, commutativity)?
0 + α = α + 0.
(α + β) + c = a + (b + c) (συσχετισμός).
α + (-α) = 0.
ab = ba;
(ab) c = a (bc) (κατανομή).
a x 1 = 1 χ α = α,
a x (1 / a) = 1 (εδώ, το a δεν είναι 0).
(α + β) c = ac + ab.
(a> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

Όταν πρόκειται για συνηθισμένο, και όχιδεκαδικά ψηφία, κλάσματα ή ακέραιοι αριθμοί, οι ενέργειες μαζί τους μπορούν να προκαλέσουν ορισμένες δυσκολίες. Έτσι, η προσθήκη και η αφαίρεση είναι δυνατές μόνο αν οι παρονομαστές είναι ίσοι. Αν αρχικά είναι διαφορετικά, θα πρέπει να βρείτε ένα κοινό, χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό ολόκληρου του κλάσματος με ορισμένους αριθμούς. Η σύγκριση είναι επίσης πολύ συχνά δυνατή μόνο εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση.

Κατανομή και πολλαπλασιασμός των συνήθων κλασμάτωνγίνονται σύμφωνα με αρκετά απλούς κανόνες. Η μείωση στον κοινό παρονομαστή δεν είναι απαραίτητη. Οι αριθμητές και οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται χωριστά, ενώ στη διαδικασία εκτέλεσης της δράσης, εάν είναι δυνατόν, το κλάσμα πρέπει να ελαχιστοποιείται και να απλοποιείται όσο το δυνατόν περισσότερο.

Όσον αφορά τη διαίρεση, αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με την πρώτη με μικρή διαφορά. Για το δεύτερο κλάσμα, βρείτε το αντίστροφο, δηλαδή

"στροφή". Έτσι, ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον δεύτερο παρονομαστή και αντίστροφα.

Τέλος, μια άλλη ιδιότητα που είναι εγγενής σε λογικήαριθμοί, ονομάζεται αξίωμα του Αρχιμήδη. Συχνά στη βιβλιογραφία υπάρχει και το όνομα "αρχή". Ισχύει για το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά όχι παντού. Επομένως, αυτή η αρχή δεν ισχύει για ορισμένες ομάδες ορθολογικών λειτουργιών. Στην ουσία, αυτό το αξίωμα σημαίνει ότι αν υπάρχουν δύο ποσότητες a και b, μπορείτε πάντα να πάρετε έναν επαρκή αριθμό α για να υπερβείτε το b.

Πεδίο εφαρμογής

Έτσι, εκείνοι που έχουν μάθει ή θυμούνται τι είναιρητών αριθμών, είναι σαφές ότι χρησιμοποιούνται παντού: στον τομέα της λογιστικής, οικονομικά, στατιστική, τη φυσική, τη χημεία και άλλες επιστήμες. Φυσικά, έχουν επίσης μια θέση στα μαθηματικά. Δεν γνωρίζουμε πάντα ότι έχουμε να κάνουμε με αυτούς, χρησιμοποιούμε συνεχώς λογικούς αριθμούς. Ακόμα και τα μικρά παιδιά μαθαίνουν να μετράνε τα αντικείμενα, τον τεμαχισμό τους σε μέρη μήλο ή συμπληρώνοντας άλλες απλές ενέργειες, αντιμέτωποι με αυτούς. Κυριολεκτικά μας περιβάλλουν. Ωστόσο, για ορισμένες εργασίες που είναι ανεπαρκή, ιδίως, το παράδειγμα του Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορούμε να κατανοήσουμε την ανάγκη της εισαγωγής της έννοιας της άρρητους αριθμούς.