Βασικές αρχές της μαθηματικής ανάλυσης. Πώς να βρείτε το παράγωγο;

Το παράγωγο κάποιας συνάρτησης f (x) στο σκυρόδεματο σημείο x0 είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης με την αύξηση του όρου, με την προϋπόθεση ότι το x ακολουθεί το 0 και το όριο υπάρχει. Το παράγωγο συνήθως υποδηλώνεται από ένα πρωταρχικό, μερικές φορές από ένα σημείο ή μέσω μιας διαφοράς. Συχνά, ένα ρεκόρ που τραβιέται πέρα ​​από τα σύνορα είναι παραπλανητικό, καθώς μια τέτοια αναπαράσταση χρησιμοποιείται εξαιρετικά σπάνια.

Μια συνάρτηση που έχει ένα παράγωγο σε ένα συγκεκριμένοσημείο x0, είναι συνηθισμένο να το ονομάζουμε διαφοροποιήσιμο σε ένα τέτοιο σημείο. Ας υποθέσουμε ότι το D1 είναι το σύνολο των σημείων στα οποία το f διαφοροποιείται. Αναθέτοντας σε κάθε αριθμό τον αριθμό x που ανήκει στο Df '(x), λαμβάνουμε μια συνάρτηση με την περιοχή της συμβολής D1. Αυτή η συνάρτηση είναι το παράγωγο του y = f (x). Δηλώνεται ως f '(x).

Επιπλέον, το παράγωγο χρησιμοποιείται ευρέως σετη φυσική και τη μηχανική. Ας εξετάσουμε το πιο απλό παράδειγμα. Τα υλικά σημείο κινείται στον άξονα συντεταγμένων, όταν ρωτήθηκε τι ο νόμος της κίνησης, δηλαδή, x-συντεταγμένη του σημείου αυτού είναι γνωστή x (t) συνάρτηση. Κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος από t0 έως t0 + t ισούται με την μετατόπιση του σημείου x (t0 + t) -x (t0) = x, και μέση ταχύτητα V της (t) ισούται με x / t.

Μερικές φορές ο χαρακτήρας της κίνησης εκπροσωπείται κατά τέτοιο τρόπο ώστε ότανμικρά χρονικά διαστήματα η μέση ταχύτητα δεν αλλάζει, πράγμα που σημαίνει ότι η κίνηση με μεγαλύτερη ακρίβεια θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφη. Εναλλακτικά, η μέση ταχύτητα, αν t0 εξής σε κάποια απολύτως ακριβή τιμή, και αναφέρεται ως η στιγμιαία ταχύτητα ν (t0) εκείνο το σημείο σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t0. Πιστεύεται ότι η στιγμιαία ταχύτητα ν (t) είναι γνωστή για κάθε διαφοροποιημένη λειτουργία x (t), σε ποιο v (t) είναι ίσο με x «(t). Με απλά λόγια, η ταχύτητα είναι το παράγωγο της χρονικής συντεταγμένης.

Η στιγμιαία ταχύτητα έχει τόσο θετική όσο καιαρνητικές τιμές, και η τιμή 0. Εάν είναι σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (t1? t2) είναι θετική, τότε το σημείο κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, δηλαδή, x (t) συντονίζει αυξάνει με το χρόνο, ενώ αν v (t) είναι αρνητική, τότε η συντεταγμένη x (t) μειώνεται.

Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, το σημείο κινείται σε επίπεδο ή στο διάστημα. Στη συνέχεια, η ταχύτητα είναι μια διανυσματική ποσότητα και προσδιορίζει καθεμία από τις συντεταγμένες του διανύσματος v (t).

Ομοίως, μπορεί κανείς να συγκρίνει με την επιτάχυνσησημείο κίνησης. Η ταχύτητα είναι συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή, v = v (t). Ένα παράγωγο μίας τέτοιας συνάρτησης - επιτάχυνση κίνησης: α = ν «(t). Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι η χρονική παράγωγος της ταχύτητας επιτάχυνσης.

Ας υποθέσουμε ότι το y = f (x) είναι οποιοδήποτε διαφοροποιημένολειτουργία. Στη συνέχεια μπορούμε να εξετάσουμε την κίνηση ενός σημείου υλικού κατά μήκος της γραμμής συντεταγμένων, η οποία συμβαίνει πίσω από το νόμο x = f (t). Το μηχανικό περιεχόμενο του παραγώγου καθιστά δυνατή την παρουσίαση μιας οπτικής ερμηνείας των θεωρημάτων του διαφορικού λογισμού.

Πώς να βρείτε το παράγωγο; Η εύρεση του παραγώγου μιας συνάρτησης καλείται διαφοροποίηση της.

Θα δώσουμε παραδείγματα για τον τρόπο εύρεσης της παράγωγης συνάρτησης:

Το παράγωγο μιας σταθερής συνάρτησης είναι ίσο με το μηδέν. το παράγωγο της συνάρτησης y = x είναι ίσο με ένα.

Και πώς να βρείτε το παράγωγο κλάσμα; Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε το παρακάτω υλικό:

Για κάθε x0 <0 έχουμε

y / x = -1 / χ0 * (χ + χ)

Υπάρχουν διάφοροι κανόνες για την εύρεση παραγώγου. Δηλαδή:

Αν οι λειτουργίες Α και Β διαφοροποιούνται στο σημείο x0,τότε το ποσό τους διαφοροποιείται στο σημείο: (Α + Β) '= Α' + Β '. Με απλά λόγια, το παράγωγο ενός ποσού ισούται με το άθροισμα των παραγώγων. Εάν η συνάρτηση διαφοροποιείται σε κάποιο σημείο, τότε η προσαύξησή της πηγαίνει στο μηδέν όταν η αύξηση του επιχειρήματος είναι μηδέν.

Αν οι λειτουργίες Α και Β διαφοροποιούνται στο σημείο x0,τότε το προϊόν τους διαφοροποιείται στο σημείο: (A * B) '= A'B + AB'. (Οι τιμές των λειτουργιών και των παραγώγων τους υπολογίζονται στο σημείο x0). Αν η συνάρτηση A (x) διαφοροποιείται στο σημείο x0, και το C είναι μια σταθερά, τότε η CA διαφοροποιείται σε αυτό το σημείο και (CA) '= CA'. Δηλαδή, ένας τέτοιος σταθερός παράγοντας θεωρείται ως ένα σημάδι του παραγώγου.

Εάν οι λειτουργίες Α και Β είναι διαφοροποιημένα σημείο x0, και η λειτουργία Β δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η αναλογία τους διαφοροποιούνται επίσης σε: (Α / Β) «= (A'B-ΑΒ») / B * B.